Polynomial
Ein Polynom ist eine Linearkombination von Potenzen einer Variablen (z. B. ax²+bx+c), die Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Differentiation und Integration erlaubt; es ist die Grundlage der Algebra und der numerischen Berechnung.
Zweck
Algebraische Ausdrücke darstellen und verarbeiten, die Basis von Interpolation, Approximation und Gleichungslösen.
Mechanismus
P(x)=a_n×x^n+...+a_1×x+a_0. Der Grad ist die höchste Potenz. Addition und Subtraktion arbeiten koeffizientenweise; Multiplikation faltet die Koeffizienten. Die Auswertung nutzt das Horner-Schema in O(n). Nullstellen: geschlossene Formeln bei niedrigen Graden, Newton-Iteration bei hohen. Die FFT beschleunigt die Polynommultiplikation auf O(n log n).
Anwendungsfälle
- Kurvenanpassung und Interpolation
- Fehlerkorrigierende Codes (Reed-Solomon)
- CRC-Generatorpolynome
- Numerische Approximation
Beispiele
- Eingabe
2x²+3x+1 at x=2Output2×4+3×2+1=15Horner evaluation
Häufige Fehler
- High-degree polynomials are numerically unstable
- Use orthogonal polynomials or center the variable
Verwandte Begriffe
Matrix
Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenarray mit Addition, Subtraktion, Multiplikation, Transposition und Inversion; sie ist die Grundlage der linearen Algebra und der Computergrafik. GLOSSAR
Complex Number
Eine komplexe Zahl hat die Form a+bi (i²=-1) und erweitert die reellen Zahlen in zwei Dimensionen; sie ist die Grundlage der Signalverarbeitung und des Quantencomputings. GLOSSAR
BigInteger
BigInteger ist ein Ganzzahltyp mit beliebiger Genauigkeit, der nicht an eine feste Wortbreite gebunden ist, und dient Berechnungen jenseits des nativen Integerbereichs (etwa Kryptographie und Kombinatorik). GLOSSAR