Singular Value Decomposition
La décomposition en valeurs singulières factorise toute matrice A en UΣV^T, avec U et V orthogonales et Σ diagonale (les valeurs singulières) ; c'est un outil central de l'analyse matricielle.
Objectif
Fonder l'approximation de faible rang, l'ACP, les pseudo-inverses et les nombres de condition.
Mécanisme
A=UΣV^T, avec des valeurs singulières σ_i=√(valeurs propres de A^T A). La SVD tronquée garde les k plus grandes valeurs singulières pour la meilleure approximation de rang k (Eckart-Young). Elle est numériquement stable mais coûte O(min(mn^2, m^2n)).
Cas d’usage
- Réduction de dimension par ACP
- Systèmes de recommandation
- Pseudo-inverse de matrices