Fixed Point Iteration
L'itération de point fixe x_{k+1}=g(x_k) converge vers un point fixe x*=g(x*) de g, avec convergence linéaire locale lorsque |g'(x*)|<1.
Objectif
Reformuler la recherche de racines en un problème de point fixe et analyser les conditions de convergence.
Mécanisme
On réécrit f(x)=0 sous la forme x=g(x). Théorème du point fixe de Banach : si g est une contraction (|g'|≤L<1), l'itération converge vers l'unique point fixe. La vitesse de convergence dépend de la dérivée de g au point fixe.
Cas d’usage
- Recherche de racines d'équations
- Analyse de méthodes itératives
- Méthodes numériques