Singular Value Decomposition
Die Singulärwertzerlegung faktorisiert jede Matrix A als UΣV^T, mit orthogonalem U und V sowie diagonalem Σ (die Singulärwerte); sie ist ein Kernwerkzeug der Matrixanalyse.
Zweck
Die Grundlage für Niedrig-Rang-Approximation, PCA, Pseudoinverse und Konditionszahlen bilden.
Mechanismus
A=UΣV^T, mit Singulärwerten σ_i=√(Eigenwerte von A^T A). Die trunkierte SVD nutzt die k größten Singulärwerte für die beste Rang-k-Approximation (Eckart-Young). Sie ist numerisch stabil, kostet aber O(min(mn^2, m^2n)).
Anwendungsfälle
- Dimensionsreduktion mit PCA
- Empfehlungssysteme
- Pseudoinverse von Matrizen