Newton Method
Das Newton-Verfahren findet Nullstellen über eine Taylor-Approximation erster Ordnung: x_{k+1}=x_k - f(x_k)/f'(x_k); es konvergiert quadratisch, braucht aber die Ableitung und einen guten Startwert.
Zweck
Nullstellen und Extrema schnell finden und dabei Konvergenzbedingungen und Grenzen verstehen.
Mechanismus
Am aktuellen Punkt wird f durch seine Tangente angenähert; deren Nullstelle wird die nächste Iterierte. Quadratische Konvergenz: |e_{k+1}|≈C|e_k|^2. In der Optimierung lautet das Update x_{k+1}=x_k - H^(-1)∇f (Newton-Schritt). Erfordert eine invertierbare Hesse-Matrix und einen Startwert nahe der Nullstelle.
Anwendungsfälle
- Nullstellenbestimmung von Gleichungen
- Optimierung ohne Nebenbedingungen
- Verfahren der numerischen Analysis