Gram-Schmidt Process
Das Gram-Schmidt-Verfahren überführt eine linear unabhängige Menge von Vektoren in eine orthogonale (oder orthonormale) Menge, die denselben Unterraum aufspannt.
Zweck
Orthogonalbasen konstruieren, verwendet in QR-Zerlegung, kleinsten Quadraten und dem LLL-Algorithmus.
Mechanismus
Iteration: u_1=v_1, u_k=v_k - ∑(v_k·u_i)/(u_i·u_i) * u_i (i<k). Jeder Schritt subtrahiert die Projektionen auf die vorherigen Vektoren. Orthonormalisierung dividiert zusätzlich durch ||u_i||.
Anwendungsfälle
- QR-Zerlegung
- Kleinste Quadrate
- Konstruktion von Orthogonalbasen