Fixed Point Iteration
Die Fixpunktiteration x_{k+1}=g(x_k) konvergiert gegen einen Fixpunkt x*=g(x*) von g, mit lokal linearer Konvergenz, wenn |g'(x*)|<1.
Zweck
Nullstellensuche als Fixpunktproblem umformulieren und die Konvergenzbedingungen analysieren.
Mechanismus
Man schreibt f(x)=0 als x=g(x). Banachscher Fixpunktsatz: Ist g eine kontrahierende Abbildung (|g'|≤L<1), konvergiert die Iteration gegen den eindeutigen Fixpunkt. Die Konvergenzgeschwindigkeit hängt von der Ableitung von g am Fixpunkt ab.
Anwendungsfälle
- Nullstellenbestimmung von Gleichungen
- Analyse iterativer Verfahren
- Numerische Methoden